Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{- 2 x^{7}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{2 x^{7}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{2 x^{7}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{x^{7}}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 1}{x^{7}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{5} + 3 x^{4} - 1$ e $g (x) = x^{7}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{7})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [2 x^{5} + 3 x^{4} - 1] - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{5} + 3 x^{4} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + \frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.8

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3} + 0) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.10

Somma $10 x^{4} + 12 x^{3}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Passaggio 3.12

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.12.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}}{x^{14}}$

Passaggio 3.12.2

Scomponi $x^{6}$ da $x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}$ .

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Passaggio 3.12.2.1

Scomponi $x^{6}$ da $x^{7} (10 x^{4} + 12 x^{3})$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}}{x^{14}}$

Passaggio 3.12.2.2

Scomponi $x^{6}$ da $- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1) x^{6}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) + x^{6} (- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{14}}$

Passaggio 3.12.2.3

Scomponi $x^{6}$ da $x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3})) + x^{6} (- 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{14}}$

Passaggio 4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x^{6}$ da $x^{14}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{6} x^{8}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{6} (x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1))}{x^{6} x^{8}}$

Passaggio 4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{x^{8} \cdot 2}$

Passaggio 6

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{8}$ .

$- \frac{x (10 x^{4} + 12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{2 \cdot x^{8}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x (10 x^{4}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5} + 3 x^{4} - 1)}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x (10 x^{4}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{10 x \cdot x^{4} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$- \frac{10 (x^{4} x) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{10 (x^{4} x^{1}) + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{10 x^{4 + 1} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + x (12 x^{3}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{10 x^{5} + 12 x \cdot x^{3} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 (x^{3} x) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 (x^{3} x^{1}) - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{3 + 1} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.4.3

Somma $3$ e $1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 7 (2 x^{5}) - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 7 (3 x^{4}) - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.6

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 21 x^{4} - 7 \cdot - 1}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.1.7

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$- \frac{10 x^{5} + 12 x^{4} - 14 x^{5} - 21 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai $14 x^{5}$ da $10 x^{5}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} + 12 x^{4} - 21 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.3.3

Sottrai $21 x^{4}$ da $12 x^{4}$ .

$- \frac{- 4 x^{5} - 9 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.4

Scomponi $- 1$ da $- 4 x^{5}$ .

$- \frac{- (4 x^{5}) - 9 x^{4} + 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.5

Scomponi $- 1$ da $- 9 x^{4}$ .

$- \frac{- (4 x^{5}) - (9 x^{4}) + 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.6

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{5}) - (9 x^{4})$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4}) + 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.7

Riscrivi $7$ come $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4}) - 1 (- 7)}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.8

Scomponi $- 1$ da $- (4 x^{5} + 9 x^{4}) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{- (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.9

Riscrivi $- (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)$ come $- 1 (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)$ .

$- \frac{- 1 (4 x^{5} + 9 x^{4} - 7)}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$

Passaggio 7.12

Moltiplica $\frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$ per $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 9 x^{4} - 7}{2 x^{8}}$