Calcolo Esempi

$e^{x^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{x}$ .

$e^{x^{x}} \frac{d}{d x} [x^{x}]$

Passaggio 2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$e^{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$e^{x^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x^{x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x \ln (x)$ .

$e^{x^{x}} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Passaggio 4

Moltiplica $e^{x^{x}}$ per $e^{x \ln (x)}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $e^{x \ln (x)}$ .

$e^{x \ln (x)} e^{x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{x \ln (x) + x^{x}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$e^{x \ln (x) + x^{x}} (1 + \ln (x))$