Calcolo Esempi

$y = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi ${(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ come $e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Passaggio 3.1.2

Espandi $\ln ({(1 + x)}^{\frac{1}{x}})$ spostando $\frac{1}{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (1 + x)}]$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{x}$ e $\ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{\ln (1 + x)}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (1 + x)}{x}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (1 + x)$ e $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.5.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 + x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia.

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Passaggio 3.6.1

$\frac{1}{1 + x}$ e $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} \cdot 1 - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.6.6

Moltiplica $\frac{x}{1 + x}$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ per $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Passaggio 3.8

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.8.1

Combina.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) (\frac{x}{1 + x} - \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.8.3

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

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Passaggio 3.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{(1 + x) \frac{x}{1 + x} + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [x])}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x) \cdot 1)}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.10.2

$e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}}$ e $\frac{x + (1 + x) (- \ln (1 + x))}{(1 + x) x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{(1 + x) x^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + (1 + x) (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x + 1 (- \ln (1 + x)) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2.1.2

Moltiplica $- \ln (1 + x)$ per $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) + x (- \ln (1 + x)))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x - \ln (1 + x) - x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- \ln (1 + x)) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.11.2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) + e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (- x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.2.4

Riordina i fattori in $e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} (x \ln (1 + x))$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{1 x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.11.3.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x \cdot x^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.11.3.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 3.11.3.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1} x^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{1 + 2}}$

Passaggio 3.11.3.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - x e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x)}{x^{2} + x^{3}}$

Passaggio 3.11.4

Riordina i termini.

$\frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} \ln (1 + x) - e^{\frac{\ln (1 + x)}{x}} x \ln (1 + x)}{x^{3} + x^{2}}$