Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x + e^{x}$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Passaggio 3.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.4.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 3.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Passaggio 3.4.3.2.4

Dividi $e^{- x} (- x + 1)$ per $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Passaggio 3.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 3.4.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Passaggio 3.4.7

Riordina i fattori in $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$