Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7}$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{\sqrt{5}}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{1} - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ per $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.3

Eleva $\sqrt{7}$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{7}}^{2}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7}$ come $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.4.2

Moltiplica $5$ per $7$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{35}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.5

$\frac{\sqrt{35}}{7}$ e $\sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 {(\frac{\sqrt{35} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{35} \sin (t)}{7}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{(\sqrt{35} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.6.2

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{35} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{\sqrt{35}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.7

Riscrivi ${\sqrt{35}}^{2}$ come $35$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{35}$ come $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.7.5

Calcola l'esponente.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.8

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 7 \frac{35 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.9

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.9.1

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 (- 1) \frac{35 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.9.2

Scomponi $7$ da $49$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 \cdot - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.9.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 + 7 \cdot - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.9.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{35 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.10

Elimina il fattore comune di $35$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.10.1

Scomponi $7$ da $35 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.10.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{7 (5 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 \frac{5 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.10.2.4

Dividi $5 \sin^{2} (t)$ per $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 1 (5 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.1.11

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $5$ da $5$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1) - 5 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $5$ da $- 5 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $5$ da $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{5 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.6

Riordina $5$ e $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$\int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7} d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (t) \sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7}$ .

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{\cos (t) \sqrt{5} \cdot 7} d t$

Passaggio 2.2.2

Sposta $7$ alla sinistra di $\cos (t) \sqrt{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7 \cdot (\cos (t) \sqrt{5})} d t$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sqrt{35} \cos (t)}{7 \cos (t) \sqrt{5}} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} d t$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$\frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} t + C$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{\sqrt{35}}{7 \sqrt{5}} t + C$ come $\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$ .

$\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\frac{\sqrt{\frac{35}{5}}}{7} t + C$ come $\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{\sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{\sqrt{5}}) + C$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$\frac{\sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} x) + C$