Calcolo Esempi

$\sum_{j = 1}^{15} {(j - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa il teorema binomiale.

$j^{3} + 3 j^{2} \cdot - 1 + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j + {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 j^{2} + 3 j - 1 = \sum_{j = 1}^{15} j^{3} - 3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2} + 3 \sum_{j = 1}^{15} j + \sum_{j = 1}^{15} - 1$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{j = 1}^{15} j^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $3$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{15^{2} {(15 + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $15$ e $1$ .

$\frac{15^{2} \cdot 16^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$\frac{225 \cdot 16^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$\frac{225 \cdot 256}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $225$ per $256$ .

$\frac{57600}{4}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $57600$ per $4$ .

$14400$

Passaggio 4

Calcola $3 \sum_{j = 1}^{15} j^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 3) (\frac{15 (15 + 1) (2 \cdot 15 + 1)}{6})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $15$ e $1$ .

$- 3 \frac{15 \cdot 16 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica $15$ per $16$ .

$- 3 \frac{240 (2 \cdot 15 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $15$ .

$- 3 \frac{240 (30 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $30$ e $1$ .

$- 3 \frac{240 \cdot 31}{6}$

Passaggio 4.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $240$ per $31$ .

$- 3 (\frac{7440}{6})$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{7440}{6}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 1 \frac{7440}{3 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{7440}{2})$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Dividi $7440$ per $2$ .

$- 1 \cdot 3720$

Passaggio 4.3.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3720$ .

$- 3720$

Passaggio 5

Calcola $3 \sum_{j = 1}^{15} j$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(3) (\frac{15 (15 + 1)}{2})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Somma $15$ e $1$ .

$3 \frac{15 \cdot 16}{2}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $15$ per $16$ .

$3 (\frac{240}{2})$

Passaggio 5.3.3

Dividi $240$ per $2$ .

$3 \cdot 120$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $3$ per $120$ .

$360$

Passaggio 6

Calcola $\sum_{j = 1}^{15} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(- 1) (15)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- 15$

Passaggio 7

Somma i risultati delle sommatorie.

$14400 - 3720 + 360 - 15$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sottrai $3720$ da $14400$ .

$10680 + 360 - 15$

Passaggio 8.2

Somma $10680$ e $360$ .

$11040 - 15$

Passaggio 8.3

Sottrai $15$ da $11040$ .

$11025$