Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} + x}{x - 1} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{3} + x$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Passaggio 1.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$

Passaggio 1.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$

Passaggio 1.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 1.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	+	$0$
							-	$2 x$	+	$2$
									+	$2$

Passaggio 1.16

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x d x + \int 2 d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 2 d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Passaggio 7

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + 2 x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 \ln (| u |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 \ln (| x - 1 |) + C$