Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{4 x}$

Passaggio 1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta il termine $\frac{1}{4}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 9}}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi $3$ da $3 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x) + 9}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}{x}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x + 4} - \sqrt{3 (x + 3)}}{x}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $5 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{1}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 3.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 3.5

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 3.6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 3.7

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{3 (x + 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 7.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{x + 3}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.1.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 9.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 11

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 12

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 \frac{0 + 3 \cdot 0}{1}}}{1}$

Passaggio 13.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Dividi $0 + 3 \cdot 0$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}}{1}$

Passaggio 13.3.2

Dividi $\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Passaggio 13.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.3.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 4 \cdot 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Passaggio 13.3.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0 + 0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Passaggio 13.3.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Passaggio 13.3.3.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{0^{2}} - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Passaggio 13.3.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 3 \cdot 0)})$

Passaggio 13.3.3.6

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 (0 + 0)})$

Passaggio 13.3.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{3 \cdot 0})$

Passaggio 13.3.3.8

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0})$

Passaggio 13.3.3.9

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{4} (0 - \sqrt{0^{2}})$

Passaggio 13.3.3.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{4} (0 - 0)$

Passaggio 13.3.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Passaggio 13.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Passaggio 13.3.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0$