Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}]$ come $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(8 - x^{3})}^{8}$ come ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza ${(8 - x^{3})}^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{6} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi ${(8 - x^{3})}^{6}$ come ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ come ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Passaggio 3

Moltiplica ${(8 - x^{3})}^{2}$ per ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 + \frac{2}{3}}}]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Passaggio 3.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{6 + 2}{3}}}]$

Passaggio 3.5.2

Somma $6$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}]$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ come ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.2.2.1

$\frac{8}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8 \cdot - 1}{3}}]$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}}]$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{8}{3}}$ e $g (x) = 8 - x^{3}$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} u^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 9.2

Sottrai $3$ da $- 8$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 10.2

${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ e $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.3.1

Sposta $8$ alla sinistra di ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 10.3.2

Sposta ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 12

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Passaggio 13

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 14

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Passaggio 15

Moltiplica.

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Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (3 x^{2})$

Passaggio 17

Semplifica i termini.

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Passaggio 17.1

$3$ e $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Passaggio 17.2

Moltiplica $3$ per $8$ .

$\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Passaggio 17.3

$\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Passaggio 17.4

Scomponi $3$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Passaggio 18

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 18.1

Scomponi $3$ da $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}})}$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Passaggio 18.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Passaggio 19

Riordina i termini.

$\frac{8 x^{2}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{11}{3}}}$