Calcolo Esempi

$y = \arcsin (\arccos (t))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \arcsin (t)$ e $g (t) = \arccos (t)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\arccos (t)$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\arcsin (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\arccos (t)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

Passaggio 2

La derivata di $\arccos (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}})$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}}$ per $\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}}$

Passaggio 3.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1^{2} - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \arccos (t)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 - t^{2})}}$

Passaggio 5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1^{2} - t^{2})}}$

Passaggio 6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = t$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 + t) (1 - t)}}$