Calcolo Esempi

${(x + 1)}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{x}$ come $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(x + 1)}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x + 1)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x + 1)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x \ln (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{x + 1}$ e $x$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{x}{x + 1}$ per $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.7

Moltiplica $\ln (x + 1)$ per $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1))$

Passaggio 6

Per scrivere $\ln (x + 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1})$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 8

$e^{x \ln (x + 1)}$ e $\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1)}{x + 1}$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica $\ln (x + 1)$ per $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 9.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 9.1.3

Riordina i fattori in $e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)$ .

$\frac{x e^{x \ln (x + 1)} + x e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 9.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} x \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$