Calcolo Esempi

$\int \frac{a x}{x^{2} - b x} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - b x$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\int \frac{a x}{x \cdot x - b x} d x$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $- b x$ .

$\int \frac{a x}{x \cdot x + x (- b)} d x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- b)$ .

$\int \frac{a x}{x (x - b)} d x$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{a x}{x (x - b)} d x$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{a}{x - b} d x$

Passaggio 2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , sposta $a$ fuori dall'integrale.

$a \int \frac{1}{x - b} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x - b$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x - b$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - b$ .

$\frac{d}{d x} [x - b]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$a \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$a (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$a \ln (| u |) + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - b$ .

$a \ln (| x - b |) + C$