Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{1 - x}$ , $a = 0$

Passaggio 1

Considera la funzione usata per trovare la linearizzazione in $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Passaggio 2

Sostituisci il valore di $a = 0$ nella funzione di linearizzazione.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Passaggio 3

Calcola $f (0)$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{1 - (0)}$

Passaggio 3.2

Semplifica $\sqrt{1 - (0)}$ .

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$\sqrt{1 - (0)}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Passaggio 3.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$\sqrt{1}$

Passaggio 3.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$1$

Passaggio 4

Trova la derivata e calcolala con $0$ .

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Passaggio 4.1

Trova la derivata di $f (x) = \sqrt{1 - x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x}$ come ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 4.1.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 4.1.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 4.1.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 4.1.13

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.1.13.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Passaggio 4.1.13.2

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$- \frac{1}{2 {(1 - (0))}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.1.1

Sottrai $0$ da $1$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Sostituisci i componenti nella funzione di linearizzazione per trovare la linearizzazione a $a$ .

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} (x - 0)$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Sottrai $0$ da $x$ .

$L (x) = 1 - \frac{1}{2} x$

Passaggio 6.2

$x$ e $\frac{1}{2}$ .

$L (x) = 1 - \frac{x}{2}$

Passaggio 7