Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x} + 8 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[4]{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x} + 8 \sqrt[3]{x} - 2 \sqrt[4]{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 \sqrt[3]{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 8 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.10

$8$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt[4]{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 4.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Passaggio 4.9

$\frac{1}{4}$ e $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 4.10

$- 2$ e $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Passaggio 4.11

Sposta $x^{- \frac{3}{4}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 2}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 4.12

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 4.13

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.13.1

Scomponi $2$ da $4 x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Passaggio 4.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})}$

Passaggio 4.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 4.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$