Calcolo Esempi

$y = \frac{\ln (x)}{x^{4}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (x)}{x^{4}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.4.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x^{3}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.2.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$\frac{x^{3} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{x^{3} - \ln (x) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.4.4.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 4 \ln (x) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.4.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} - 4 \ln (x) x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 - 4 \ln (x) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.4.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 4 \ln (x) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 \ln (x))}{x^{8}}$

Passaggio 3.4.4.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 \ln (x))$ .

$\frac{x^{3} (1 - 4 \ln (x))}{x^{8}}$

Passaggio 3.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (1 - 4 \ln (x))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} (1 - 4 \ln (x))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 4 \ln (x)}{x^{5}}$

Passaggio 3.6

Semplifica $- 4 \ln (x)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{4})}{x^{5}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1 - \ln (x^{4})}{x^{5}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (x^{4})}{x^{5}}$