Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{2 x - 6}$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{2 x - 6}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{2 x - 6}$

Passaggio 2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{- 6}{x}}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 3.4

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 3) (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 3) + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.4

Riordina $x$ e $- 3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.1.2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 3 x + 3 x - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.8.3

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.8.4

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 9}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.2.9

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.3

Il limite che tende a meno infinito di un polinomio con grado pari il cui coefficiente direttivo è positivo è infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.11

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + (x - 3) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.12

Moltiplica $x - 3$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 3 + x - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.13

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3 - 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.14

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.15

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.3.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.4

Riduci.

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Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{6}{x}}$

Passaggio 5.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Passaggio 5.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}$

Passaggio 5.4

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 - 6 \cdot 0}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 - 6 \cdot 0}$

Passaggio 7.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Passaggio 7.2.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$