Calcolo Esempi

$y = 6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$24 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4

Differenzia.

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Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4.2

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x + 0$

Passaggio 1.4.3

Somma $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$72 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$72 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$72 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$72 x^{2} - 18 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 18 x + 2$