Calcolo Esempi

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $y^{2} + x y^{2}$ ciascun termine in $(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $y^{2} + x y^{2}$ ciascun termine in $(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$ .

$\frac{(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{2} + x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x}}{y^{2} + x y^{2}} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} + x y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{1 + x})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{1 + x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1}{y^{2} (1 + x)}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \ln (| 1 + x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\ln (| 1 + x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \ln (| 1 + x |) + 3 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $3 \ln (| 1 + x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$y^{3} = \ln ({| 1 + x |}^{3}) + 3 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| 1 + x |}^{3}) + 3 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{\ln ({| 1 + x |}^{3}) + C}$