Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Passaggio 1.3

Poiché la funzione $\ln (x^{3})$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 6$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 6$ rimosso.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

Passaggio 1.3.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.3

Poiché la funzione $\ln (x^{3})$ tende a $\infty$ , la costante negativa $- 6$ moltiplicata per la funzione tende a $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.5

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.6

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.7

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \ln (x^{3})$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Passaggio 3.8.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Passaggio 3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{x^{3}}$ e $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

Passaggio 3.13

$- 3$ e $\frac{6}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

Passaggio 3.14

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

Passaggio 3.15

$\frac{- 18}{x^{3}}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

Passaggio 3.16

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 18 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

Passaggio 3.16.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.16.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Passaggio 3.16.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Passaggio 3.16.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

Passaggio 3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

Passaggio 5

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta $x$ .

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Passaggio 7

$- 2 x$ e $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Passaggio 8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Passaggio 9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Passaggio 10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $1$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

Passaggio 11.3

$- 3$ e $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

Passaggio 12

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\infty$