Calcolo Esempi

$h (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.12.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.4

Riscrivi $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ come $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.13.2.5

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.6

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.13.2.9

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$h'' (x) = \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 2.3.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $2$ per $2$ .

$h'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)$

Passaggio 4.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.12.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.2.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.4

Riscrivi $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ come $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.13.2.5

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.6

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.8

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.13.2.9

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 5.2.2

Poiché $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{1}{2}}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $2, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{2}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo di $2, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $2 x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x^{\frac{1 + 1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$3 x^{\frac{2}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.5

Dividi $2$ per $2$ .

$3 x^{1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Semplifica $3 x^{1}$ .

$3 x - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$3 x + \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x - 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$3 x - 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x = 0$

Passaggio 6.3.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 0$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 6.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

$4$ e $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

$3$ e $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4.2

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.4.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.1.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.1.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.1.6

$4$ e $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + 1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ per $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 9.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3^{\frac{3}{2}} + 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 9.2.2

Somma $3^{\frac{3}{2}}$ e $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Passaggio 9.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Rimuovi le parentesi.

$h (\frac{1}{3}) = ((\frac{1}{3}) - 1) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}) \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 3}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = \frac{- 2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 11.2.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.8

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.9

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 11.2.10

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.10.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.10.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.10.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.2.10.5

Somma $1$ e $1$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 11.2.10.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.2.10.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.10.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.10.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.10.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.10.6.5

Calcola l'esponente.

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.11

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 11.2.11.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{9}$

Passaggio 11.2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$h (\frac{1}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 11.2.13

La risposta finale è $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{3}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{4 \cdot 0^{1}} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{4 \cdot 0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{3}{0} + \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 15