Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riordina $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Passaggio 1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Passaggio 1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Passaggio 1.5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.5.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 1.5.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 2.5.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Passaggio 3

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Riscrivi $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Riordina $- {u_{1}}^{2}$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{2}$ e $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 7

Per scrivere $u_{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 9

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 10

Per scrivere $- u_{1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Passaggio 11

$- u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Passaggio 12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Passaggio 13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ per $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Passaggio 15

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Passaggio 16

Riscrivi $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

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Passaggio 16.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Passaggio 16.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Passaggio 16.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Passaggio 17

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Estrai i termini dal radicale.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 17.2

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 18

Espandi $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 18.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 19.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.1.2

Moltiplica $- 2 u_{1}$ per $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.1.5

Moltiplica $u_{1}$ per $u_{1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.5.1

Sposta $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.1.5.2

Moltiplica $u_{1}$ per $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.1.6

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.2

Somma $- 2 u_{1}$ e $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 19.3

Somma $1$ e $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 20

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Passaggio 21

Sia $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\cos (t)}{2}$ è positivo.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22

Semplifica i termini.

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Passaggio 22.1

Semplifica $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Passaggio 22.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.2.1

$\cos (t)$ e $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Passaggio 22.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Passaggio 22.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Passaggio 22.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Passaggio 23

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Passaggio 24

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 24.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 24.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 25

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 26

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 27

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 27.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 28

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 29

Applica la regola costante.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 30

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 30.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 30.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 30.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 30.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 30.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 30.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 30.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 30.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 30.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 30.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 30.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 30.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 30.7

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 31

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 32

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 33

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 34

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 34.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 34.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 34.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 34.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 34.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 34.3.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Passaggio 35

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 35.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 35.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 35.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Passaggio 35.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Passaggio 35.1.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Passaggio 35.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Passaggio 35.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Passaggio 35.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 35.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Passaggio 35.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Passaggio 35.3

$\frac{1}{8}$ e $π$ .

$\frac{π}{8}$

Passaggio 36

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π}{8}$

Forma decimale:

$0.39269908 \dots$

Passaggio 37