Calcolo Esempi

$y = \frac{1 + x^{2}}{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (1 + x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (1 + x^{2})}{x^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot 1 - x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - x^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$