Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 1$ e $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ da $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 4.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]}{x}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x'}{x}$

Passaggio 4.14

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.15

Riscrivi $\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ come un prodotto.

$- (\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 4.16

Moltiplica $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 4.17

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x'}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x'}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.21

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$

Passaggio 6.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} = - 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni lato per $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}}) = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Semplifica $\frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} (2 x^{\frac{3}{2}})$ .

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Passaggio 6.4.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x'}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - (2 x^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x' = - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 7

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 x^{\frac{3}{2}}$