Calcolo Esempi

$\int (\frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x}}{4}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{4} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}{4} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{1 + \frac{1}{2}}}{4} d x$

Passaggio 2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4} d x$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{2 + 1}{2}}}{4} d x$

Passaggio 2.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{3}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{4} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ per $\frac{1}{4}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 4} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{20} + C$

Passaggio 10.2.4

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{5}{2}})}{20} + C$

Passaggio 10.2.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.5.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 10} + C$

Passaggio 10.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot 10} + C$

Passaggio 10.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{10} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$