Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 5}{4 x - 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - x + 5$ e $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 5] - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(4 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 1$ e $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.13.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - (x^{2} - x + 5) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - 4 (x^{2} - x + 5)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 1) - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(4 x - 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1) - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1) - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 4 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 4 x - 2 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 4 x - 2 x + 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Sottrai $2 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 4 \cdot 5}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $5$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x^{2} + 4 x - 20}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x + 1 + 4 x - 20}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 6 x$ e $4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x + 1 - 20}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $20$ da $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 19}{{(4 x - 1)}^{2}}$