Calcolo Esempi

$y = \arcsin (\frac{1}{9 x + 6})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{9 x + 6}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arcsin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{9 x + 6}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arcsin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{1}{9 x + 6}$ come ${(9 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{- 1}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 9 x + 6$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {(9 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}}$ e ${(9 x + 6)}^{- 2}$ .

$- \frac{{(9 x + 6)}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Passaggio 3.4.2

Sposta ${(9 x + 6)}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Passaggio 3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.4.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $9$ per $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + \frac{d}{d x} [6])$

Passaggio 3.4.7

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + 0)$

Passaggio 3.4.8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.8.1

Somma $9$ e $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \cdot 9$

Passaggio 3.4.8.2

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$- 9 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.3

$- 9$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$