Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{3} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} {(x^{3} - 1)}^{3} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{3} - 1$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = x^{3} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{3} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 1$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{3} - 1$ .

$u_{upper} = 1^{3} - 1$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 - 1$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{- 1}^{0} u^{3} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$u^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{- 1}^{0} \frac{u^{3}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{0} u^{3} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{0} u^{3} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{2}{3} \frac{1}{4} u^{4}]_{- 1}^{0}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{1}{4} u^{4}$ per $0$ e per $- 1$ .

$\frac{2}{3} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4})$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$\frac{2}{3} (0 - \frac{1}{4} {(- 1)}^{4})$

Passaggio 7.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2}{3} (0 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{3} (0 - \frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.5

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $0$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.6

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 4}$

Passaggio 7.2.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$- \frac{2}{12}$

Passaggio 7.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

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Passaggio 7.2.8.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12}$

Passaggio 7.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.8.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Passaggio 7.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{6}$

Forma decimale:

$- 0.1\overline{6}$

Passaggio 9