Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{4} + 4}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{4} + 4}$ come ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{4} + 4)}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{4} + 4}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{4} + 4}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{4} + 4}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{4} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 4$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 4$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(x^{4} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]}{x^{4} + 4}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4])}{x^{4} + 4}$

Passaggio 14

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 0)}{x^{4} + 4}$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})}{x^{4} + 4}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - 4 \frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 15.3

$- 4$ e $\frac{x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x^{3}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 15.4

$\frac{- 4 x}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x \cdot x^{3}}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 16

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 16.1

Sposta $x^{3}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 (x^{3} x)}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 16.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 16.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 (x^{3} x^{1})}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 16.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{3 + 1}}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 16.3

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 4 x^{4}}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 17

Scomponi $2$ da $- 4 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 2 x^{4})}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 18

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 18.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 2 x^{4})}{2 ({(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 18.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 2 x^{4})}{2 {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 18.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 20

Per scrivere ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 22

Moltiplica ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 22.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 22.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(x^{4} + 4)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 22.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{{(x^{4} + 4)}^{1} - 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 23

Semplifica ${(x^{4} + 4)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x^{4} + 4 - 2 x^{4}}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 24

Sottrai $2 x^{4}$ da $x^{4}$ .

$\frac{\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$

Passaggio 25

Riscrivi $\frac{\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{4} + 4}$ come un prodotto.

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{4} + 4}$

Passaggio 26

Moltiplica $\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{4} + 4}$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} + 4)}$

Passaggio 27

Moltiplica ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{4} + 4$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 27.1

Moltiplica ${(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{4} + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 27.1.1

Eleva $x^{4} + 4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{4} + 4)}^{1}}$

Passaggio 27.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 27.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 27.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 27.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- x^{4} + 4}{{(x^{4} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$