Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.11

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12.2

$2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.15

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.17

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.18

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.19

Per scrivere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.21.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.21.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.22

Semplifica ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.23

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} + 1$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1] - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.4.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.10.3

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.14.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.2

Moltiplica $- 2 x^{2} - 1$ per $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.3

Per scrivere $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5

Riscrivi $\frac{4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.5.1

Scomponi $x$ da $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.5.1.1

Scomponi $x$ da $4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.1.2

Scomponi $x$ da $(- 2 x^{2} - 1) x$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.2

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.5.2.1

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 1)}^{1} - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.3

Semplifica $4 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{x (4 (x^{2} + 1) - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 - 2 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 4 - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.2.5.7

Sottrai $1$ da $4$ .

$\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ come un prodotto.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.15.3.2

Moltiplica $\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Passaggio 2.15.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.3.1.1

Eleva $x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 2.15.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.15.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.15.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.15.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (2 x^{2} + 3)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x (2 x^{2} + 3)] - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 2 x^{2} + 3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} [3]) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.4.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x^{1} x^{1}) + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x]) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} + 3) \cdot 1) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Moltiplica $2 x^{2} + 3$ per $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8.3.2

Somma $4 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.9.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.14.1

$\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - x (2 x^{2} + 3) (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.14.2

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.15

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.17

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 2 \frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3

$- 2$ e $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} (2 x^{2} + 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.5

$x$ e $\frac{- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.20

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1} x^{1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{1 + 1} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.22

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 6 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.23

Scomponi $2$ da $x^{2} (- 6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.24

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.24.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.24.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.24.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + \frac{x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{1} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.24.4

Dividi $x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ per $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.25

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.25.1

Riordina $x^{2}$ e $- 3$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.25.2

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} + 3)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) - 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.25.3

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $- 3 \cdot x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} + 3)$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.25.4

Scomponi ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3)) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.26

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.26.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.26.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.27

Semplifica.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.28

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.29

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{3}$ per ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.29.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.29.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.29.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.29.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Passaggio 3.29.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.29.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

Passaggio 3.29.5.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (6 x^{2} + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x^{2} + 3) + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2} + 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{6 x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 1 (6 x^{2}) + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.1.4

Moltiplica $6 x^{2}$ per $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 1 \cdot 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{6 x^{4} + 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2} x^{2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.1.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{2 + 2} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.1.6

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.2

Combina i termini opposti in $6 x^{4} + 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 9 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.30.2.2.1

Sottrai $6 x^{4}$ da $6 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 + 0 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.2.2

Somma $9 x^{2} + 3$ e $0$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 - 9 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.2.3

Sottrai $9 x^{2}$ da $9 x^{2}$ .

$\frac{0 + 3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 3.30.2.2.4

Somma $0$ e $3$ .

$f''' (x) = \frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Passaggio 4.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ come ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $- 5$ .

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (- \frac{5}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.7.2

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ e $\frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.7.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$3 (- \frac{5 \cdot {(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.7.3.2

Sposta ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 4.7.4

$\frac{5}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ e $- 3$ .

$\frac{5 \cdot - 3}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.7.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.5.1

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{- 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.7.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x + 0)$

Passaggio 4.11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} (2 x)$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Passaggio 4.11.3

$- 2$ e $\frac{15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 15}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Passaggio 4.11.4

Moltiplica $- 2$ per $15$ .

$\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}} x$

Passaggio 4.11.5

$\frac{- 30}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 30 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.11.6

Scomponi $2$ da $- 30 x$ .

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Scomponi $2$ da $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 (- 15 x)}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}})}$

Passaggio 4.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{15 x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{7}{2}}}$