Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} 5 \sin^{2} (t) \cos^{4} (t) d t$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) \cos^{4} (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {\cos (t)}^{2 (2)} d t$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\cos (t)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {(\cos^{2} (t))}^{2} d t$

Passaggio 3

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$5 \int_{0}^{π} \sin^{2} (t) {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Passaggio 4

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (t)$ come $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$5 \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} {(\frac{1 + \cos (2 t)}{2})}^{2} d t$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = 2 t$ . Allora $d u_{1} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u_{1} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u_{1} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 5.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Passaggio 5.6

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{2} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 6

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 6.1

Semplifica.

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Passaggio 6.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1 - \cos (u_{1})}{2}$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{2 \cdot 2} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (u_{1})}{4} {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2

Semplifica con la commutazione.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $\frac{1 - \cos (u_{1})}{4}$ come un prodotto.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1 + \cos (u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $\frac{1 + \cos (u_{1})}{2}$ come un prodotto.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2} d u_{1}$

Passaggio 6.3

Espandi $\frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) {(\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))}^{2}$ .

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$5 \int_{0}^{2 π} \frac{1}{4} \cdot (1 - \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})) (\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos (u_{1})))) d u_{1}$

Passaggio 6.3.2