Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 6 x}{10 - x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 6 x$ e $g (x) = 10 - x^{2}$ .

$\frac{(10 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x] - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6 \cdot 1) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [10 - x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) - (x^{2} + 6 x) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 1 (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $x^{2} + 6 x$ per $1$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (x^{2} + 6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (x^{2} + 6 x) (2 x)}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 6 x$ .

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 2 \cdot (x^{2} + 6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + (2 x^{2} + 2 (6 x)) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(10 - x^{2}) (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Espandi $(10 - x^{2}) (2 x + 6)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 (2 x + 6) - x^{2} (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 (2 x) + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x + 6) + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 (2 x) + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{20 x + 10 \cdot 6 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $10$ per $6$ .

$\frac{20 x + 60 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 6 + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 x) x}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 (x \cdot x))}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (6 x^{2})}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.5

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $20 x + 60 - 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Somma $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 60 - 6 x^{2} + 0 + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $20 x + 60 - 6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{20 x + 60 - 6 x^{2} + 12 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $- 6 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$\frac{20 x + 60 + 6 x^{2}}{{(10 - x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{6 x^{2} + 20 x + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi $2$ da $6 x^{2} + 20 x + 60$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $2$ da $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 20 x + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $2$ da $20 x$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (10 x) + 60}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $2$ da $60$ .

$\frac{2 (3 x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2}) + 2 (10 x)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 10 x) + 2 (30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{2} + 10 x) + 2 (30)$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 10 x + 30)}{{(- x^{2} + 10)}^{2}}$