Calcolo Esempi

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 - 4$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Passaggio 2.3

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 2.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 2.6

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Passaggio 3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Passaggio 7

$\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ e $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Passaggio 8

Calcola $\ln (| u |)$ per $3$ e per $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Passaggio 9

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Passaggio 10

Poiché la funzione $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ tende a $- \infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 10.1

Considera il limite con il multiplo costante $- 1$ rimosso.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Passaggio 10.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $t$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Passaggio 10.3

Mentre $t$ tende a $- \infty$ da uno qualsiasi dei due lati, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Passaggio 10.4

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $t$ tende a $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Passaggio 10.5

Infinito diviso per qualsiasi cosa finita e diversa da zero è uguale a infinito.

$- \infty$

Passaggio 10.6

Poiché la funzione $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ tende a $- \infty$ , la costante negativa $- 1$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

$\infty$