Calcolo Esempi

$x \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$