Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} - x + 3}{x^{2} + x - 2} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Dividi usando la divisione tra polinomi in colonna.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Passaggio 1.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Passaggio 1.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2} - 2 x$

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

Passaggio 1.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 1.1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Passaggio 1.1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Passaggio 1.1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - x + 2$

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

Passaggio 1.1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x^{2}$

$x$

$3$

$x^{2}$

$x$

$2$

$2 x$

$1$

Passaggio 1.1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 1 + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Passaggio 1.2

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{2 x + 1}{(x - 1) (x + 2)}$

Passaggio 1.2.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 1.2.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 1) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(2 x + 1) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.6.2

Dividi $2 x + 1$ per $1$ .

$2 x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 x + 1 = \frac{A (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.7.1.2

Dividi $(A) (x + 2)$ per $1$ .

$2 x + 1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $A$ .

$2 x + 1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 1.2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x + 1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Passaggio 1.2.7.4.2

Dividi $(B) (x - 1)$ per $1$ .

$2 x + 1 = A x + 2 A + (B) (x - 1)$

Passaggio 1.2.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$2 x + 1 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 1$

Passaggio 1.2.7.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$2 x + 1 = A x + 2 A + B x - 1 \cdot B$

Passaggio 1.2.7.7

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$2 x + 1 = A x + 2 A + B x - B$

Passaggio 1.2.8

Sposta $2 A$ .

$2 x + 1 = A x + B x + 2 A - B$

Passaggio 1.3

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$2 = A + B$

Passaggio 1.3.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = 2 A - 1 B$

Passaggio 1.3.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$2 = A + B$

$1 = 2 A - 1 B$

$2 = A + B$

$1 = 2 A - 1 B$

Passaggio 1.4

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Risolvi per $A$ in $2 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 2$ .

$A + B = 2$

$1 = 2 A - 1 B$

Passaggio 1.4.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 2 - B$

$1 = 2 A - 1 B$

$A = 2 - B$

$1 = 2 A - 1 B$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $2 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = 2 A - 1 B$ con $2 - B$ .

$1 = 2 (2 - B) - 1 B$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Semplifica $2 (2 - B) - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = 2 \cdot 2 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$1 = 4 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$1 = 4 - 2 B - 1 B$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$1 = 4 - 2 B - B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 2 B - B$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 2 B$ .

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

$1 = 4 - 3 B$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3

Risolvi per $B$ in $1 = 4 - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Riscrivi l'equazione come $4 - 3 B = 1$ .

$4 - 3 B = 1$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 B = 1 - 4$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3.2.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$- 3 B = - 3$

$A = 2 - B$

$- 3 B = - 3$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3.3

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 B = - 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

$B = \frac{- 3}{- 3}$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.3.3.1

Dividi $- 3$ per $- 3$ .

$B = 1$

$A = 2 - B$

$B = 1$

$A = 2 - B$

$B = 1$

$A = 2 - B$

$B = 1$

$A = 2 - B$

Passaggio 1.4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 2 - B$ con $1$ .

$A = 2 - (1)$

$B = 1$

Passaggio 1.4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Semplifica $2 - (1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A = 2 - 1$

$B = 1$

Passaggio 1.4.4.2.1.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

Passaggio 1.4.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = 1$

Passaggio 1.5

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $x - 1 + \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$x - 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}$

Passaggio 1.6

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int x - 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{2} = x + 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{2} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u_{1} |) + C + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{1} |) + \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{1} | | u_{2} |) + C$

Passaggio 9.2.2

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{1} \cdot u_{2} |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| (x - 1) u_{2} |) + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| (x - 1) (x + 2) |) + C$