Calcolo Esempi

$\frac{d}{d x} (\frac{- 2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} - x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{- 2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{- 2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{- 2}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{4}$ .

$- 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- 2 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 2 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta $x^{3}$ .

$- 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 2 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.8.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- 2 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$8 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$8 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$8 x^{- 5} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$8 x^{- 5} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$8 x^{- 5} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$8 x^{- 5} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{- 5} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$8 x^{- 5} - x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$8 x^{- 5} - 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$8 x^{- 5} - 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{- 5} - 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.6.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$8 x^{- 5} - 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{- 5} - 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x^{- 5} - 3 x^{- 4} - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$8 x^{- 5} - 3 x^{- 4} - 1$

Passaggio 5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{5}} - 3 x^{- 4} - 1$

Passaggio 6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{5}} - 3 \frac{1}{x^{4}} - 1$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.1.1

$8$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{8}{x^{5}} - 3 \frac{1}{x^{4}} - 1$

Passaggio 7.1.2

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{5}} + \frac{- 3}{x^{4}} - 1$

Passaggio 7.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8}{x^{5}} - \frac{3}{x^{4}} - 1$

Passaggio 7.2

Riordina i termini.

$- \frac{3}{x^{4}} + \frac{8}{x^{5}} - 1$