Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (x)}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Sposta l'esponente $2$ da $\cos^{2} (x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x) - 1}{\cos^{2} (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $\cos (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 1.3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 1.3.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 1.3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Passaggio 1.3.7

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 \cos (x) (- \sin (x))}$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{- 2 \sin (x)}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{- 2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{2}$ per $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{π}{2})}$

Passaggio 4.2

Converti da $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})}$ a $\csc (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{1}{2} \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$