Calcolo Esempi

$y = x^{4} (5 x - 4 x^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 5 x - 4 x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [5 x - 4 x^{2}] + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{4} (5 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (5 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (5 - 4 (2 x)) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$x^{4} (5 - 8 x) + (5 x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (5 - 8 x) + (5 x - 4 x^{2}) (4 x^{3})$

Passaggio 2.9

Sposta $4$ alla sinistra di $5 x - 4 x^{2}$ .

$x^{4} (5 - 8 x) + 4 \cdot (5 x - 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} \cdot 5 + x^{4} (- 8 x) + 4 (5 x - 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} \cdot 5 + x^{4} (- 8 x) + (4 (5 x) + 4 (- 4 x^{2})) x^{3}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} \cdot 5 + x^{4} (- 8 x) + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$5 \cdot x^{4} + x^{4} (- 8 x) + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.2.1

Sposta $x$ .

$5 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.2.3

Somma $1$ e $4$ .

$5 x^{4} + x^{5} \cdot - 8 + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 8$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$5 x^{4} - 8 \cdot x^{5} + 4 (5 x) x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $5$ per $4$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x \cdot x^{3} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.5.1

Sposta $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 (x^{3} x) + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 (x^{3} x^{1}) + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{3 + 1} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.5.3

Somma $3$ e $1$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} + 4 (- 4 x^{2}) x^{3}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 x^{2} x^{3}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 (x^{3} x^{2})$

Passaggio 3.4.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 x^{3 + 2}$

Passaggio 3.4.7.3

Somma $3$ e $2$ .

$5 x^{4} - 8 x^{5} + 20 x^{4} - 16 x^{5}$

Passaggio 3.4.8

Somma $5 x^{4}$ e $20 x^{4}$ .

$- 8 x^{5} + 25 x^{4} - 16 x^{5}$

Passaggio 3.4.9

Sottrai $16 x^{5}$ da $- 8 x^{5}$ .

$- 24 x^{5} + 25 x^{4}$