Calcolo Esempi

$\sin (x^{2} + y^{2}) = x e^{y}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x e^{y})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Passaggio 3.5

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y') = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + \cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y') = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y') = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x^{2} + y^{2}) (2 x) + \cos (x^{2} + y^{2}) (2 y y') = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5.1.1.4

Riordina.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cos (x^{2} + y^{2}) x + \cos (x^{2} + y^{2}) (2 y y') = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5.1.1.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cos (x^{2} + y^{2}) x + 2 \cos (x^{2} + y^{2}) (y y') = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5.1.1.4.3

Riordina i fattori in $2 \cos (x^{2} + y^{2}) x + 2 \cos (x^{2} + y^{2}) (y y')$ .

$2 x \cos (x^{2} + y^{2}) + 2 y y' \cos (x^{2} + y^{2}) = x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$2 x \cos (x^{2} + y^{2}) + 2 y y' \cos (x^{2} + y^{2}) = x y' e^{y} + e^{y}$

Passaggio 5.3

Sottrai $x y' e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x \cos (x^{2} + y^{2}) + 2 y y' \cos (x^{2} + y^{2}) - x y' e^{y} = e^{y}$

Passaggio 5.4

Sottrai $2 x \cos (x^{2} + y^{2})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' \cos (x^{2} + y^{2}) - x y' e^{y} = e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $2 y y' \cos (x^{2} + y^{2}) - x y' e^{y}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $2 y y' \cos (x^{2} + y^{2})$ .

$y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2})) - x y' e^{y} = e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- x y' e^{y}$ .

$y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2})) + y' (- x e^{y}) = e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2})) + y' (- x e^{y})$ .

$y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}) = e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})$

Passaggio 5.6

Dividi per $2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}$ ciascun termine in $y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}) = e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}$ ciascun termine in $y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}) = e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{y' (2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y})}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}} = \frac{e^{y}}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}} + \frac{- 2 x \cos (x^{2} + y^{2})}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{e^{y}}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}} + \frac{- 2 x \cos (x^{2} + y^{2})}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{e^{y}}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}} - \frac{2 x \cos (x^{2} + y^{2})}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}}$

Passaggio 5.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} - 2 x \cos (x^{2} + y^{2})}{2 y \cos (x^{2} + y^{2}) - x e^{y}}$