Calcolo Esempi

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$.

Differenzia usando la regola della catena, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.

Per scrivere ${\displaystyle -1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Semplifica il numeratore.

Riduci le frazioni.

Secondo la regola della somma, la derivata di ${\displaystyle x+3}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=1}$.

Poiché ${\displaystyle 3}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle 3}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle 0}$.

Semplifica l'espressione.

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Per scrivere ${\displaystyle -1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Semplifica il numeratore.

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${\displaystyle \frac{1}{3}}$ e ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ e ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$.

Sposta ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Per scrivere ${\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}$.

Per scrivere ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$.

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\displaystyle 3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}}$, moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di ${\displaystyle 1}$.

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Moltiplica ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$ per ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$ sommando gli esponenti.

Semplifica ${\displaystyle 2x^1}$.

Moltiplica ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ per ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$ sommando gli esponenti.

Semplifica ${\displaystyle {(x+3)}^1}$.

Somma ${\displaystyle 2x}$ e ${\displaystyle x}$.

Scomponi ${\displaystyle 3}$ da ${\displaystyle 3x}$.

Scomponi ${\displaystyle 3}$ da ${\displaystyle 3}$.

Scomponi ${\displaystyle 3}$ da ${\displaystyle 3\left(x\right)+3\left(1\right)}$.

Elimina i fattori comuni.

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ è ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Differenzia.

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Differenzia usando la regola della catena, che indica che ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.