Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $- 4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

Passaggio 7

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

Passaggio 9

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{3}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{3}$ per $x$ .

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Passaggio 11.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Passaggio 11.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.2.1

$- 2$ e $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

Passaggio 11.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

Passaggio 11.2.3

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

Passaggio 11.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

Passaggio 11.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Passaggio 11.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 11.2.6.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 11.2.6.3

Elimina il fattore comune.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

Passaggio 11.2.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

Passaggio 11.2.8

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

Passaggio 11.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

Passaggio 11.4

Moltiplica $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

Passaggio 11.5

Moltiplica $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

Passaggio 11.6

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

Passaggio 11.7

Semplifica.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

Passaggio 11.8

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

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Passaggio 11.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 11.8.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Passaggio 11.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.9.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

Passaggio 11.9.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 11.9.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 11.9.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$- 0.42264973 \dots$