Calcolo Esempi

$\int \frac{w^{3} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $w$ da $w^{3} + w^{2} + w$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $w$ da $w^{3}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $w$ da $w^{2}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w}{w^{3}} d w$

Passaggio 1.1.3

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w^{1}}{w^{3}} d w$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $w$ da $w^{1}$ .

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Passaggio 1.1.5

Scomponi $w$ da $w \cdot w^{2} + w \cdot w$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w) + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

Passaggio 1.1.6

Scomponi $w$ da $w (w^{2} + w) + w \cdot 1$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w^{3}} d w$

Passaggio 1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $w$ da $w^{3}$ .

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{w^{2} + w + 1}{w^{2}} d w$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $w^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(w^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (w^{2} + w + 1) w^{- 2} d w$

Passaggio 3

Espandi $(w^{2} + w + 1) w^{- 2}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (w^{2} + w) w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int w^{2} w^{- 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int w^{2 - 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int w^{0} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 1 + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.6

Eleva $w$ alla potenza di $1$ .

$\int 1 + w^{1} w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 + w^{1 - 2} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.8

Sottrai $2$ da $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + 1 w^{- 2} d w$

Passaggio 3.9

Moltiplica $w^{- 2}$ per $1$ .

$\int 1 + w^{- 1} + w^{- 2} d w$

Passaggio 3.10

Riordina $1$ e $w^{- 1}$ .

$\int w^{- 1} + 1 + w^{- 2} d w$

Passaggio 3.11

Sposta $1$ .

$\int w^{- 1} + w^{- 2} + 1 d w$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int w^{- 1} d w + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Passaggio 5

L'integrale di $w^{- 1}$ rispetto a $w$ è $\ln (| w |)$ .

$\ln (| w |) + C + \int w^{- 2} d w + \int d w$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $w^{- 2}$ rispetto a $w$ è $- w^{- 1}$ .

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + \int d w$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + w + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$\ln (| w |) - \frac{1}{w} + w + C$