Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 2 \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $4 \sec^{2} (t)$ come ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2 \sec (t)$ da ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $2 \sec (t)$ da $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Passaggio 2.2.2

$\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ e $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Applica la regola del prodotto a $2 (\tan (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\sec (x)$ come $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Passaggio 4.2

Applica l'identità reciproca.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3.2

Combina.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\csc (t)$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Passaggio 4.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.5

$\cot (t)$ e $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.6

Riduci l'espressione $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Passaggio 4.3.6.2

Scomponi $\cot (t)$ da ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 4.3.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Passaggio 4.3.6.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Passaggio 5

Poiché la derivata di $- \csc (t)$ è $\csc (t) \cot (t)$ , l'integrale di $\csc (t) \cot (t)$ è $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{4}$ e $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{x}{2})$ . Perciò, $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ è $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.7

Riscrivi $\frac{4 + x^{2}}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.7.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $4 + x^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.7.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.7.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.9

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.10

Combina.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.11

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

Passaggio 8.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Passaggio 8.3

Combina.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Passaggio 8.4

Moltiplica $\sqrt{4 + x^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Passaggio 8.5

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$