Calcolo Esempi

$y = \arctan (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ come ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\arctan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$\frac{1}{1 + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\frac{- x + 2 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.7

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1}{\frac{0 + 2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.8

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1}{\frac{2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.9

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{2}{1 - x}$ .

$1 \frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.10

Moltiplica $\frac{1 - x}{2}$ per $1$ .

$\frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.11

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.11.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{1 + x}{1 - x}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.12

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.13

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.15.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.16

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1 - x}{2}$ .

$\frac{1 - x}{2 \cdot 2} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.16.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

Passaggio 4.17

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.5

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.10.2

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.12.1

Moltiplica $1 + x$ per $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.12.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.12.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.12.4

Somma $0$ e $2$ .

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}})$

Passaggio 4.18.12.5

Moltiplica $\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ per $\frac{1 - x}{4}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{{(1 - x)}^{2} \cdot 4} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.18.12.6

Sposta $4$ alla sinistra di ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{4 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Scomponi $2$ da $4 {(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - x}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.20

Elimina il fattore comune di $1 - x$ e ${(1 - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.20.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.20.2.1

Scomponi $1 - x$ da $2 {(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 4.21

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.21.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - x}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2 - 2 x} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2 - 2 x}$ per $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{(2 - 2 x) {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21.5

Riordina i termini.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - 2 x)}$

Passaggio 4.21.6

Scomponi $2$ da $2 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) - 2 x)}$

Passaggio 4.21.6.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) + 2 (- x))}$

Passaggio 4.21.6.3

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1 - x))}$

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1 - x)}$

Passaggio 4.21.7

Riordina i termini.

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

Passaggio 4.21.8

Scomponi $- x + 1$ da ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

Passaggio 4.21.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.21.9.1

Scomponi $- x + 1$ da ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)$ .

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

Passaggio 4.21.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

Passaggio 4.21.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 4.21.10

Sposta ${(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21.11

Sposta $2$ alla sinistra di ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$