Calcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

Passaggio 1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Passaggio 2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Passaggio 3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Passaggio 4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Passaggio 5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

Passaggio 7

Sposta il termine $- 2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Passaggio 8

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{6}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{6}$ per $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Passaggio 8.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{6}$ per $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.4.2

$- 4$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

Passaggio 9.1.6.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 9.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Passaggio 9.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

Passaggio 9.1.7

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 9.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 9.1.9

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 9.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.1.10.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.1.10.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9.1.10.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

Passaggio 9.1.11

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $- 2 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.3

$- 2 \sqrt{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.5.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.5.2

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$- 5.77350269 \dots$