Calcolo Esempi

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 5 x - 3$ e $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - \frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.8

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.10

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.12

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.13

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Passaggio 2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Somma $5$ e $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Passaggio 2.14.2

Sposta $5$ alla sinistra di $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Passaggio 3.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

$3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Passaggio 3.3.4

$- 5$ e $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Passaggio 3.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Passaggio 3.3.7

Per scrivere $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.3.9

Per scrivere $20 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.3.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.3.14

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.4

Espandi $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Passaggio 3.5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.6

Moltiplica $5 \frac{3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.6.1

$5$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.6.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.7

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.8

Moltiplica $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.8.1

$\frac{3}{x}$ e $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.8.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Passaggio 3.5.5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Passaggio 3.5.6

Somma $20 x^{2}$ e $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Passaggio 3.5.7

Sottrai $15$ da $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Passaggio 3.5.8

Somma $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ e $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.9

Per scrivere $40 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.11

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.11.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.11.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.11.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.12

Per scrivere $- 12 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.13

$- 12 x$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.15.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.15.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.15.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.5.15.2

Riordina i termini.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Passaggio 3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Passaggio 3.7.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Passaggio 3.7.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 3.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 3.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$