Calcolo Esempi

$y = x \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Passaggio 1.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.10

Moltiplica.

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Passaggio 2.10.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Passaggio 2.10.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$