Calcolo Esempi

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

Passaggio 1

Sia $u = θ^{2}$ . Allora $d u = 2 θ d θ$ , quindi $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = θ^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d θ}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $θ^{2}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 θ$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $θ$ in $u = θ^{2}$ .

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{π}{2}}$ come $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

Passaggio 1.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Passaggio 1.3.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

Passaggio 1.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Riscrivi ${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ come $π \cdot 2$ .

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Passaggio 1.3.6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{π \cdot 2}$ come ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6.1.5

Semplifica.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

Passaggio 1.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 1.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $θ$ in $u = θ^{2}$ .

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Passaggio 1.5

Riscrivi ${\sqrt{π}}^{2}$ come $π$ .

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Passaggio 1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{π}$ come $π^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π^{1}$

Passaggio 1.5.5

Semplifica.

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $u$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

Passaggio 2.2

$\frac{u}{2}$ e $\cos (u)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u$ e $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $u \sin (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

Passaggio 6.2

Calcola $- \cos (u)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

Passaggio 6.3.2

Per scrivere $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 6.3.3

$- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

Passaggio 7.4

Somma $- \cos (π)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Passaggio 7.6

Per scrivere $π \sin (π)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Passaggio 7.7

$π \sin (π)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

Passaggio 7.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

Passaggio 7.9

Sposta $2$ alla sinistra di $π \sin (π)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

Passaggio 7.10

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ .

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.11

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{4}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π)}{4}$

Passaggio 8.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

Passaggio 8.3

Moltiplica $2 π \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{0 π - π + 2 \cos (π)}{4}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

Passaggio 8.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{0 - π + 2 (- \cos (0))}{4}$

Passaggio 8.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0 - π + 2 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Passaggio 8.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0 - π + 2 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 8.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{0 - π - 2}{4}$

Passaggio 8.8

Sottrai $π$ da $0$ .

$\frac{- π - 2}{4}$

Passaggio 8.9

Scomponi $- 1$ da $- π$ .

$\frac{- (π) - 2}{4}$

Passaggio 8.10

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{- (π) - 1 (2)}{4}$

Passaggio 8.11

Scomponi $- 1$ da $- (π) - 1 (2)$ .

$\frac{- (π + 2)}{4}$

Passaggio 8.12

Riscrivi $- (π + 2)$ come $- 1 (π + 2)$ .

$\frac{- 1 (π + 2)}{4}$

Passaggio 8.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{π + 2}{4}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{π + 2}{4}$

Forma decimale:

$- 1.28539816 \dots$