Calcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa il teorema binomiale.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.3

Applica la regola del prodotto a $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sposta $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $3^{2}$ per $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.5

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $- 2$ per $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.8

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $4$ per $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Passaggio 1.2.10

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Passaggio 1.3

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Passaggio 3

Calcola $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $3$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $7$ e $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $49$ per $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $3136$ per $4$ .

$27 \cdot 784$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $27$ per $784$ .

$21168$

Passaggio 4

Calcola $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $7$ e $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Moltiplica $7$ per $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Passaggio 4.3.1.3

Somma $14$ e $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Passaggio 4.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $56$ per $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $6$ da $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \cdot 840$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 9$ per $840$ .

$- 7560$

Passaggio 5

Calcola $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Somma $7$ e $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $7$ per $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Passaggio 5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$18 \cdot 56$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $18$ per $56$ .

$1008$

Passaggio 6

Calcola $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(- 8) (7)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 8$ per $7$ .

$- 56$

Passaggio 7

Somma i risultati delle sommatorie.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sottrai $7560$ da $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Passaggio 8.2

Somma $13608$ e $1008$ .

$14616 - 56$

Passaggio 8.3

Sottrai $56$ da $14616$ .

$14560$