Calcolo Esempi

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 1.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di 0 e non uguali a 1 e $x$ è maggiore di 0.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = e$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{\ln (a)}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ .

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x^{3} + 7$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x^{3} + 7$ .

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ per $\frac{1}{\ln (a)}$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Passaggio 4.6

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

Passaggio 4.7.2

$6$ e $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ .

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

Passaggio 4.7.3

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ e $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

Passaggio 5.2

Scomponi $\ln (a)$ da $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $\ln (a)$ da $2 x^{3} \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $\ln (a)$ da $7 \ln (a)$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $\ln (a)$ da $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ .

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$