Calcolo Esempi

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Passaggio 2.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Passaggio 2.2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Passaggio 2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Passaggio 2.2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Passaggio 2.2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Passaggio 2.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Passaggio 2.2.9

$\frac{1}{3}$ e $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Passaggio 2.2.10

$\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Passaggio 2.2.11

Sposta $y^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2.12

$3$ e $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2.13

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2.2.14

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Passaggio 5.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi $y^{\frac{2}{3}}$ come ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ come ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Passaggio 5.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Passaggio 5.7

Scomponi.

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Passaggio 5.7.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ e $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Passaggio 5.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Passaggio 5.8

Dividi per $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ ciascun termine in $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.8.1

Dividi per $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ ciascun termine in $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Passaggio 5.8.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Passaggio 5.8.2.4

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.8.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.8.3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Passaggio 5.8.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Passaggio 5.8.3.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.8.3.1.4

$- 1$ e $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.8.3.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Passaggio 5.8.3.2

Moltiplica $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Passaggio 5.8.3.3

Moltiplica $y^{\frac{1}{3}}$ per $y^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.8.3.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Passaggio 5.8.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Passaggio 5.8.3.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 5.8.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$